Теория информации

индивидуалки уфы

Полиномиальные коды


При полиномиальном кодировании каждое сообщение отождествляется с многочленом, а само кодирование состоит в умножении на фиксированный многочлен. Полиномиальные коды - блочные и отличаются от рассмотренных ранее только алгоритмами кодирования и декодирования.

Пусть - двоичное сообщение. Тогда сопоставим ему многочлен . Все вычисления происходят в поле классов вычетов по модулю 2, т. е. от результата любой арифметической операции берется остаток от его деления на 2.

Например, последовательности 10011 при соответствует многочлен .

Зафиксируем некоторый многочлен степени ,

Полиномиальный код с кодирующим многочленом кодирует слово сообщения многочленом или кодовым словом из коэффициентов этого многочлена . Условия и необходимы, потому что в противном случае и не будут нести никакой информации, т.к. они всегда будут нулями.

Пример. Рассмотрим кодирующий многочлен . Сообщение 01011, отвечающее многочлену , будет закодировано коэффициентами многочлена , т.е. .

Полиномиальный код с кодирующим многочленом степени является матричным кодом с кодирующей матрицей размерности :

Т е. ненулевые элементы в -й строке - это последовательность коэффициентов кодирующего многочлена, расположенных с -го по -й столбцах.

Например, -код с кодирующим многочленом отвечает матрице

или отображению: ; ; ; ; ; ; ; .

Полиномиальные коды являются групповыми.

Это следует из того, что коды, получаемые матричным кодированием, - групповые.

Рассмотрим -код с кодирующим многочленом . Строка ошибок останется необнаруженной в том и только в том случае, если соответствующий ей многочлен делится на .

Действительно, делится на тогда и только тогда, когда делится на . Поэтому любая ошибка, многочлен которой не делится на , будет обнаружена и, соответственно, любая ошибка, многочлен которой делится на , не может быть обнаружена.

Таким образом, обнаружение ошибки при использовании полиномиального кода с кодирующим многочленом может быть реализовано при помощи алгоритма деления многочленов с остатком: если остаток ненулевой, то при передаче произошло искажение данных.




- Начало -  - Назад -  - Вперед -



Книжный магазин